Augustin Genoud, auteur du livre «Énigmes mathématiques et logiques». © Photo Olivier Maire
Une énigme mathématique et logique est un jeu d’esprit consistant à faire découvrir quelque chose aux moyens d’indices liés aux mathématiques et à la logique. Une énigme est belle lorsque l’énoncé est court, précis et clair. Elle doit également susciter la curiosité du lecteur, qui va ainsi être poussé à la résoudre. Intuition, logique, ingéniosité et opiniâtreté sont les qualités nécessaires pour résoudre des énigmes.
Une énigme est belle lorsque l’énoncé est court, précis et clair.
- Vera possède 4 cartes numérotés de 1 à 4, empilées les unes sur les autres, la n° 1 dessus, suivie de la n° 2, de la n° 3 et de la n° 4.
Elle prend la carte placée au-dessus du paquet (la n° 1), la place en dernière position et jette la carte suivante (la n° 2).
Elle prend ensuite la carte placée au-dessus du paquet (la n° 3), la place en dernière position et jette la carte suivante.
Elle continue toujours ainsi en plaçant la carte au-dessus du paquet en dernière position et en éliminant la carte suivante, jusqu’à ce qu’elle n’ait plus qu’une seule carte en main.
Quel sera le numéro de la dernière carte dans sa main?
Solution a
Dans le tableau suivant, on trouve dans la ligne «a» la pile de cartes du départ. Une fois la carte 1 placée en dernière position et la carte 2 éliminée, on a la pile de la ligne « b ». Ensuite, la carte 3 est mise en dernière position et la carte 4 éliminée. On a alors la pile de la ligne «c». La carte 1 est placée en dernière position et la 3 est jetée. La dernière carte en main de Vera est la numéro 1.
| a | 1 | 2 | 3 | 4 |
| b | 3 | 4 | 1 | |
| c | 1 | 3 | ||
| d | 1 |
- Vera fait la même chose, mais avec 10 cartes numérotées dans un ordre croissant, la n° 1 étant la première de la pile.
Quel sera le numéro de la dernière carte dans sa main?
Solution b
Les piles successives sont mises dans les lignes du tableau ci-dessous. La dernière carte en main de Vera est la numéro 5.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 1 | |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 1 | 3 | ||
| 7 | 8 | 9 | 10 | 1 | 3 | 5 | |||
| 9 | 10 | 1 | 3 | 5 | 7 | ||||
| 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | |||||
| 5 | 7 | 9 | 1 | ||||||
| 9 | 1 | 5 | |||||||
| 5 | 9 | ||||||||
| 5 |
- Vera fait la même chose, mais avec 2000 cartes numérotées dans un ordre croissant, la n° 1 étant la première de la pile.
Quel sera le numéro de la dernière carte dans sa main?
Solution c
Voyons ce qui se passe lorsque le nombre total de cartes jouées par Véra augmente progressivement.
| Nombre total de cartes | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| Numéro de la carte restante | 1 | 3 | 1 | 3 | 5 | 7 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 1 | 3 |
On constate que la carte restante est 1 chaque fois que le nombre total de cartes est une puissance de 2.
Pour un nombre total de cartes compris entre deux puissances de 2, la suite est évidente: 3, 5, 7, 9, 11, 13, etc. Soit n, la plus grande puissance de 2 inférieur au nombre total de cartes x. La fonction permettant de trouver le numéro de la carte restante à partir de n et x est facile à découvrir.
| Nombre total de cartes | n | n + 1 | n + 2 | n + 3 | … | x |
| Numéro de la carte restante | 1 | 3 | 5 | 7 | … | (x – n) · 2 + 1 |
La plus grande puissance de 2 inférieure à 2000 est 1024.
Numéro cherché = = 1953.
Auteur des livres 50 nouvelles énigmes mathématiques et logiques et Énigmes mathématiques et logiques
Les maths dans tous leurs états!
Les énigmes, ou la passion d’Augustin Genoud, ancien enseignant de mathématiques passionné et auteur de trois livres sur le sujet.
Les mathématiques ont toujours constitué un sujet privilégié de notre catalogue. Depuis la publication des premiers moyens d’enseignement des écoles de la Suisse romande en 1980, de nombreux titres sont venus compléter notre offre.
Parmi ceux-ci, on trouve les cahiers de révision Réussite en maths ou le jeu des tables de multiplication Quanto, pour devenir expert des livrets en s’amusant. Tout récemment, 90 petits génies des mathématiques, un abécédaire des personnalités qui ont révolutionné la branche, ainsi que les trois livres d’Énigmes mathématiques, ont enrichi ce puzzle des maths dans tous leurs états.
Pour aller plus loin
- Découvrir le site d’Augustin Genoud, jeuxmath.ch
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