Les énigmes de Monsieur Genoud

Portrait d'Augustin Genoud, auteur du livre «Énigmes mathématiques et logiques». Augustin Genoud, auteur de l’ouvrage Énigmes mathématiques et logiques.. © Photo Olivier Maire

Une énigme mathématique et logique est un jeu d’esprit consistant à faire découvrir quelque chose aux moyens d’indices liés aux mathématiques et à la logique.

Une énigme est belle lorsque l’énoncé est court, précis et clair. Elle doit également susciter la curiosité du lecteur, qui va ainsi être poussé à la résoudre.

Intuition, logique, ingéniosité et opiniâtreté sont les qualités nécessaires pour résoudre des énigmes. Dans l’énigme qui suit, on voit qu’à partir d’une même donnée, simple et concise, il est relativement aisé de répondre à la première question, tandis que pour répondre à la seconde, il faut avoir de bonnes connaissances en mathématiques. Essayez de répondre aux deux questions posées avant de lire les solutions, énoncées ci-dessous.

Intuition, logique, ingéniosité et opiniâtreté sont les qualités nécessaires pour résoudre des énigmes.

Lorsque des amis se rencontrent, les hommes et les femmes se font des bises et les femmes se font également des bises entre elles. Les hommes, entre eux, se contentent d’une poignée de main. En Suisse, la coutume veut qu’entre deux personnes, il y ait un échange de six bises.

Première question: combien y a-t-il de bises lorsque 3 femmes et 2 hommes se rencontrent?

Solution

Soit F1, F2 et F3, les trois femmes. Soit H1 et H2, les deux hommes.

F1 fait des bises aux 4 autres personnes. Comme il y a chaque fois un échange de 6 bises, cela fait 24 bises. F1 est éliminé.

F2 fait des bises aux 3 personnes restantes. Cela fait 18 bises (3 fois 6 bises). F2 est éliminé.

F1 fait des bises aux 2 personnes restantes. Cela fait 12 bises (2 fois 6 bises). F1 est éliminé.

Au total, il y a donc 54 bises (24 + 18 + 12).

Seconde question: dans une fête à laquelle participèrent au minimum cinq femmes et cinq hommes, combien y avait-il de personnes, sachant que l’on dénombra 5’658 bises?

Solution

Soit y le nombre de femmes, et z le nombre d’hommes.

Premier cas: les femmes n’embrassent que les hommes, cela fait yz embrassades, soit 6yz bises (chaque embrassade correspond à 6 bises).

Second cas: les femmes s’embrassent entre elles, cela fait y (y – 1)/2 embrassades, soit 3y (y – 1) bises.

On a donc l’équation suivante: 6yz + 3y (y – 1) = 5658 = 3 (y2 + 2yz – y) ⇒ y2 + 2yzy = 1886 = y (y + 2z – 1).

Or, 1886 = 2 × 23 × 41 = 1 × 1886 = 2 × 943 = 23 × 82 = 41 × 46.

Comme y et z doivent être supérieurs à 5, il nous faut étudier les 6 cas suivants:

y (y + 2z – 1) = 1886 × 1 ⇒ z = impossible dans N
y (y + 2z – 1) = 943 × 2 ⇒ z = impossible dans N
y (y + 2z – 1) = 23 × 82 ⇒ z = 30
y (y + 2z – 1) = 82 × 23 ⇒ z = impossible dans N
y (y + 2z – 1) = 41 × 46 ⇒ z = 3, impossible (n’est pas supérieur à 5)
y (y + 2z – 1) = 46 × 41 ⇒ z = impossible dans N

Seul le cas y = 23 et z = 30 fonctionne. Il y avait donc 53 personnes (23 femmes et 30 hommes).

Augustin Genoud
Auteur de l’ouvrage Énigmes mathématiques et logiques: 50 activités pour faire tourner ses neurones

Photo du livre "Énigmes mathématiques et logiques" d'Augustin Genoud.
L’ouvrage est illustré par le dessinateur Albin Christen.

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