Intuition, logique, ingéniosité et opiniâtreté sont les qualités nécessaires pour résoudre des énigmes. Dans l’énigme qui suit, on voit qu’à partir d’une même donnée, simple et concise, il est relativement aisé de répondre à la première question, tandis que pour répondre à la seconde, il faut avoir de bonnes connaissances en mathématiques. Essayez de répondre aux deux questions posées avant de lire les solutions, énoncées ci-dessous.
Intuition, logique, ingéniosité et opiniâtreté sont les qualités nécessaires pour résoudre des énigmes.
Lorsque des amis se rencontrent, les hommes et les femmes se font des bises et les femmes se font également des bises entre elles. Les hommes, entre eux, se contentent d’une poignée de main. En Suisse, la coutume veut qu’entre deux personnes, il y ait un échange de six bises.
Première question: combien y a-t-il de bises lorsque 3 femmes et 2 hommes se rencontrent?
Solution à la première question
Soit F1, F2 et F3, les trois femmes. Soit H1 et H2, les deux hommes.
F1 fait des bises aux 4 autres personnes. Comme il y a chaque fois un échange de 6 bises, cela fait 24 bises. F1 est éliminé.
F2 fait des bises aux 3 personnes restantes. Cela fait 18 bises (3 fois 6 bises). F2 est éliminé.
F1 fait des bises aux 2 personnes restantes. Cela fait 12 bises (2 fois 6 bises). F1 est éliminé.
Au total, il y a donc 54 bises (24 + 18 + 12).
Seconde question: dans une fête à laquelle participèrent au minimum cinq femmes et cinq hommes, combien y avait-il de personnes, sachant que l’on dénombra 5’658 bises?
Solution à la seconde question
Soit x le nombre d’hommes, et y le nombre de femmes.
Premier cas: les femmes n’embrassent que les hommes, cela fait yx embrassades, soit 6yx bises (chaque embrassade correspond à 6 bises).
Second cas: les femmes s’embrassent entre elles, cela fait y · (y-1) / 2 embrassades, soit bises.
On a donc l’équation suivante : 6yx + 3y · (y – 1) = 5658 = 3(y2 + 2xy – y) ⇒ y2 + 2xy – y = 1886 = y (y + 2x – 1).
Or, 1886 = 2 . 23 . 41 = 1 . 1886 = 2 . 943 = 23 . 82 = 41 . 46.
Comme y et x doivent être supérieurs à 5, il nous faut étudier les 6 cas suivants :
- y (y + 2x – 1) = 1886 .1 ⇒ x = impossible dans N
- y (y + 2x – 1) = 943 .2 ⇒ x = impossible dans N
- y (y + 2x – 1) = 23 .82 ⇒ x = 30
- y (y + 2x – 1) = 82 .23 ⇒ x = impossible dans N
- y (y + 2x – 1) = 41 .46 ⇒ x = 3, impossible (n’est pas supérieur à 5)
- y (y + 2x – 1) = 46 .41 ⇒ x = impossible dans N
Seul le cas y = 23 et x = 30 fonctionne. Il y avait donc 53 personnes (23 femmes et 30 hommes).
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